函数模型
导数、单调性与极值
上下联动原函数与导函数，先从导数符号判断增减，再观察零点两侧的符号变化与局部极值。 适用：高中
导函数在横轴上方，原函数怎样变化？
上下两图使用相同的横坐标。拖动任一动点，观察原函数的切线斜率与导函数的正负。按 Tab 键聚焦 P 或 D 后，用左右方向键每次移动 0.01，Shift 每次 0.1，Home 回到 0。
原函数 · 蓝色曲线
导函数 · 绿正、橙负、灰零
原函数点 P(x,f(x))
导数值 = 切线斜率
当前导数符号
+ 正：严格递增 ↗− 负：严格递减 ↘0 零：看区间及两侧
从符号到单调区间
在某区间上，f′(x)>0 则 f 严格递增，f′(x)<0 则 f 严格递减。个别点 f′(x)=0 不代表函数在一个区间内不变；整个区间上导数恒为 0，函数才在该区间保持不变。
| 开区间 | 导数符号 | 原函数增减 | 观察 |
|---|
导数为零，是否一定有极值？
在导数零点两侧，正→负：极大值；负→正：极小值；两侧同号：不能据此判为极值。本模型函数处处可导，极值点导数为零，但导数为零只是候选条件。
| 候选位置 x₀ | 左→右 | 判断 | 函数值 f(x₀) |
|---|
极值比较的是附近函数值，不是全定义域的最大值、最小值；窗口边缘也不当作极值点。本工具的符号表覆盖全体实数，画布只显示其中一段。
两图横轴同范围、同位置；纵轴各自自动缩放，不能用线条看起来的倾斜角代替导数值。所有示例定义域为 ℝ，输入控件 −4～4 与观察窗口只限制操作和显示范围。
CLASSROOM IDEA
课堂使用提示
先隐藏导数与判断，只看蓝色原函数预测增减，再显示下方导函数，比较横轴上方与下方所对应的变化。在零点附近用左侧、零点、右侧按钮验证。进入第二步，比较 x²、−x²、x³、x³−3x：导数为零只是候选条件，判断本例极值还要看左右是否变号；x³ 在 0 处导数为零仍严格递增。常数函数另行说明，不能把单个零导数点当作整个区间不变。