函数模型
割线、切线与导数
让动点从左右靠近固定点，比较平均变化率与瞬时变化率，理解割线趋近切线。 适用：高中
两点越来越近，平均变化率趋向哪里？
固定 P，改变横向增量 h，让 Q 从左右靠近 P。蓝线为函数，橙色虚线为割线，紫线为切线。按 Tab 聚焦 P/Q 后用左右方向键调整 x₀/h，每次 0.01，Shift 每次 0.1。
横向增量 Δx = h
纵向增量 Δy
割线斜率 Δy/Δx
h 趋于 0，不是把 h 直接代成 0
导数是瞬时变化率，也是切线斜率；割线斜率是两个不同点间的平均变化率。有限步演示用于观察趋势，不能替代极限论证。切线可能穿过曲线（例如 x³ 在原点的切线），不能用“只接触一次”定义切线。
| h | 割线斜率 | 导数 |
|---|
本步只探索 x²、x³ 的可导情形，定义域为全体实数。观察窗口和控件范围不表示定义域限制。h 始终非零，最小 |h| 为 0.001；两轴单位长度相同。
CLASSROOM IDEA
课堂使用提示
先隐藏切线，固定 P，分别令 h 从左右趋近 0，比较平均变化率表，再显示导数和切线。h 始终非零，不能把 0 直接代入差商。以代数恒等式说明极限，有限步观察只辅助理解；切线可穿过曲线，不以相交次数定义。本步探索可导的 x² 和 x³，接着进入导数、单调性与极值。