6.3 相交线

一、教学目标

1. 理解对顶角的概念，掌握“对顶角相等”，并能进行简单的推理。
2. 理解垂线、垂足的概念，会用符号表示两条直线互相垂直。
3. 掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4. 理解垂线段的概念，掌握“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，理解点到直线的距离。

二、教学重难点

• 重点：对顶角的概念与性质；垂线的概念与基本事实；垂线段最短。
• 难点：对顶角相等的推理表达；垂线段与点到直线的距离的区别与联系。

三、教学过程

（一）情境引入

出示两条直线相交的图形，提问：过一点可以画出无数条相交的直线，那么如何描述这些相交直线的位置关系呢？由此引出对顶角与垂直的研究。

（二）新知探究

1. 对顶角

• 动手操作：把两根细木条钉在一起，可以形成哪些角？这些角之间有什么关系？
• 可以发现：相邻的两个角互补，相对的两个角相等。
• 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角。
• 因为∠1、∠3都是∠2的补角，所以∠1=∠3；同理可以得到∠2=∠4。
• 结论：对顶角相等。

2. 垂直

• 转动细木条b，观察∠1与∠2的大小变化，当∠1=∠2时，因为∠1+∠2=180°，所以∠1=∠2=90°。
• 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
• 两条直线互相垂直，记作“a⊥b”或“AB⊥CD”。
• 如果∠1=90°，那么a⊥b；如果a⊥b，那么∠1=90°。
• 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3. 垂线段

• 过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段。
• 结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
• 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，直线上的点到这条直线的距离为0。
• 应用：跳远比赛中，裁判员使皮尺PO⊥l，线段PO的长度就是运动员所跳的距离。

（三）例题精讲（用教材例题）

例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE的反向延长线OF平分∠BOD吗？为什么？

解：OF平分∠BOD。理由如下：

根据“对顶角相等”，得∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF。

因为OE平分∠AOC，所以∠AOE=∠COE。

所以∠BOF=∠DOF，即OF平分∠BOD。

例2 如图，O是直线AB上的一点，OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，OD和OE有怎样的位置关系？请说明理由。

解：OD⊥OE。理由如下：

因为OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，所以∠1=∠2，∠3=∠4。

所以∠1+∠4=∠2+∠3。

又因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以∠2+∠3=90°，即∠DOE=90°。

所以OD⊥OE。

（四）巩固练习

1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？请说明理由。
2. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠BOE互为余角，∠AOC=72°，求∠BOE的大小。
3. 如图，线段PA、PB、PC、PD中，哪条线段的长等于点P到直线AB的距离？请说明理由。

（五）课堂小结

• 对顶角的概念与性质：对顶角相等；
• 垂线、垂足的概念与符号表示；
• 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
• 垂线段最短与点到直线的距离。

四、板书设计

6.3 相交线

一、对顶角：有公共顶点、没有公共边；对顶角相等

二、垂直：有一个角是直角 ⇒ a⊥b；交点叫垂足

三、基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

四、垂线段：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

五、点到直线的距离：垂线段的长度

五、作业布置

教材习题6.3第1、3、4、6、7题。