5.3 转化 表达 · 学案

一、学习目标

1. 能用平面直观图表示一个空间几何体，会辨认看不见的棱。
2. 认识平面展开图，能由展开图想象出相应的空间几何体。
3. 能从图形与表达式的对应关系中发现规律，体会数与形的相互转化。

二、课前预习

1. 准备一个长方体纸盒（如装墨水瓶的纸盒）和一把剪刀。
2. 从不同的角度观察同一个物体，看到的形状一样吗？
3. 想一想：把无盖的圆柱形纸筒的侧面沿一条直线剪开并铺平，得到的平面图形是什么？

三、课堂探究

探究一　平面直观图
画出正方体纸盒（图 5 − 6）的平面直观图，并回答：
直观图中看不见的棱应该画成______线。

探究二　平面展开图
（1）把装墨水瓶的长方体纸盒沿某些棱剪开、铺平，得到一个平面展开图（图 5 − 7）。对比展开前后各个面的位置，有条形码的长方形是原长方体纸盒的哪个面？
答：____________。
（2）将无盖圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开（图 5 − 8），得到的平面图形是。
（3）剪出下列形状的纸片（图 5 − 9），分别可以折出怎样的空间图形？
十字形纸片折出；扇形纸片折出；三角形纸片折出。

探究三　数与形的转化
观察下列图形和对应表达式：

• 1 = 1²
• 1 + 3 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 4²
  （1）画出第 5 个图形，写出它对应的表达式：。
  （2）用文字说明图形和对应表达式之间的规律：。
  （3）利用发现的规律计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = ______。

教材例题留白
例　观察图形和对应表达式：1 + 2 = 1/2 × (3 × 2)，1 + 2 + 3 = 1/2 × (4 × 3)。
（1）画出第 3 个图形，写出对应的表达式；
（2）根据图形和表达式之间的关系，计算 1 + 2 + 3 + … + 100。
解：（1）；（2）。

四、课后巩固

1. 一个无盖的圆柱形纸筒，把它的侧面沿一条直线剪开并铺平，得到的平面图形是______。
2. 从 1 开始连续 8 个奇数的和等于______。
3. 计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = ______。
4. 判断：正方体的平面展开图一定是六个正方形连成一排。（　　）
5. 画出一个三棱柱的平面直观图，看不见的棱用虚线表示。