5.3 转化 表达 · 教案

一、教学目标

1. 知道可以用平面直观图表示一个空间几何体，能看懂常见的平面直观图。
2. 经历剪开、铺平纸盒的过程，理解平面展开图，能由展开图想象出相应的几何体。
3. 通过观察图形与对应表达式，发现「从1开始连续n个奇数的和等于n²」，体会数与形的相互转化。

二、教学重难点

• 重点：平面直观图与平面展开图，以及数形结合的思想方法。
• 难点：由平面展开图想象立体图形，从图形变化中发现并表达数量规律。

三、教学过程

（一）情境引入

生活中，人们常常从不同角度观察一个物体。教师出示装墨水瓶的长方体纸盒，提问：怎样把这根长条形码所在的面表示在平面图形上？数学中，我们一般通过平面直观图表示一个空间几何体，也可以用平面展开图研究一个空间几何体。

（二）新知探究

1. 平面直观图。出示图 5 − 6，请学生画出正方体纸盒的平面直观图，明确看不见的棱通常画成虚线。
2. 平面展开图。活动一：把装墨水瓶的长方体纸盒（图 5 − 7）沿某些棱剪开、铺平，得到一个平面展开图；对比展开前后各个面的位置，判断有条形码的长方形是原长方体纸盒的哪个面（是纸盒的侧面）。
3. 活动二：把无盖圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开（图 5 − 8），得到一个长方形。
4. 活动三：剪出图 5 − 9 中各种形状的纸片，折出相应的空间图形：十字形纸片折出无盖正方体（纸盒），扇形纸片折出圆锥，三角形纸片折出三棱锥。
5. 探究数形转化。观察图 5 − 10 的图形和对应表达式：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3²，1 + 3 + 5 + 7 = 4²。（1）第 5 个图形对应的表达式是 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²，图形中正方形的边长等于等式左边加数的个数，所以等式左边是从 1 开始的连续奇数之和，右边是加数个数的平方。（2）利用规律计算 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21，从 1 到 21 共有 11 个奇数，所以结果是 11² = 121。

（三）例题精讲

例　下列图形和对应表达式：1 + 2 = 1/2 × (3 × 2)，1 + 2 + 3 = 1/2 × (4 × 3)。（1）画出第 3 个图形，写出对应的表达式；（2）根据图形和表达式之间的关系，计算 1 + 2 + 3 + … + 100。
分析：第 1 个图形中 2 个点对应表达式 1 + 2 = 1/2 × (3 × 2)，第 2 个图形中 6 个点对应表达式 1 + 2 + 3 = 1/2 × (4 × 3)，图形的点数与表达式右侧「两个连续整数的积的一半」一致。
解：（1）第 3 个图应把每行点数依次增为 1、2、3、4，共 10 个点，对应表达式 1 + 2 + 3 + 4 = 1/2 × (5 × 4)。（2）1 + 2 + 3 + … + 100 = 1/2 × (101 × 100) = 5050。

（四）巩固练习

1. 课本练习第 1 题：判断哪些几何体可以展开成如图所示的平面图形，把名称填在横线上（三棱柱、圆锥、圆柱）。
2. 课本练习第 2 题：观察图形与对应表达式，画出第 3 个图形并计算 1 + 2 + 3 + … + 100。
3. 课本习题第 1 题：把纸片沿虚线折叠成几何体，说出名称（五角星形折叠成五棱锥，另一张折叠成棱柱）。
4. 课本习题第 2 题：在六个正方形中分别填写 1、2、3、−1、−2、−3，折叠成正方体后使相对面上的两个数互为相反数。

（五）课堂小结

1. 用平面直观图表示空间几何体，看不见的棱画成虚线。
2. 用平面展开图研究空间几何体，立体图形与平面图形可以相互转化。
3. 数与形之间可以相互转化，图形的点数与表达式中的数一一对应。
4. 从 1 开始连续 n 个奇数的和等于 n²。

四、板书设计

5.3 转化 表达

1. 平面直观图（看不见的棱画虚线）
2. 平面展开图：剪开 → 铺平 → 折叠
3. 数形转化：1 = 1²　1 + 3 = 2²　1 + 3 + 5 = 3²　1 + 3 + 5 + 7 = 4²
   　规律：从 1 开始连续 n 个奇数的和 = n²

五、作业布置

1. 画出一个正方体和长方体的平面直观图，看不见的棱用虚线表示。
2. 把一个长方体纸盒沿棱剪开铺平，标出各个面在展开图中的位置，再重新折回原状。
3. 计算 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39，并说明一共用到了多少个奇数。