2.6 有理数的乘方 · 教案

教学目标

1. 理解乘方、底数、指数、幂的概念，会进行有理数的乘方运算。
2. 探索并掌握幂的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。
3. 会用科学记数法表示绝对值大于 10 的数，体会乘方在表示大数时的价值。

教学重难点

• 重点：乘方的意义与乘方运算；用科学记数法表示较大的数。
• 难点：幂的符号规律的归纳与运用；科学记数法中 a 与 n 的确定。

教学过程

一、情境引入（约 5 分钟）

将一张包装纸对折，再对折……直到无法对折为止，你对折了多少次？请用算式表示对折后得到的包装纸层数。
因为每次对折后包装纸的层数都变为原来的 2 倍，所以包装纸层数与对折次数之间的关系为：对折 1 次层数为 2；对折 2 次为 2×2；对折 3 次为 2×2×2；对折 4 次为 2×2×2×2……

二、新知探究（约 12 分钟）

1. 我们知道，同一个加数连续相加可以用乘法表示，如 2＋2＝2×2。类似地，同一个因数的积也可以用一种简便形式表示：2×2＝2²，读作“2 的平方”；2×2×2＝2³，读作“2 的 3 次方”；2×2×2×2＝2⁴，读作“2 的 4 次方”……
2. 一般地，n 个相同因数 a×a×…×a 可以表示为 a^n（n 为大于 1 的整数），读作“a 的 n 次方”。
3. 归纳概念：求相同因数的积的运算叫作乘方（power），相同因数叫作底数（base number），相同因数的个数叫作指数（exponent），乘方运算的结果叫作幂（power）。a^n 也可以读作“a 的 n 次幂”。乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。
4. 当指数为 1 时，指数通常省略不写，例如 3¹ 通常写成 3；当底数为 1 时，1^n=1；当底数为 0 时，0^n=0（n 为正整数）。
5. 探究符号规律：计算 (−1)^10、(−7)^13、(−1/2)^6、(−1/2)^7，观察结果是正数还是负数，结果的正负情况和什么有关？
   归纳：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数。特别地，一个数的二次方也称为这个数的平方（square），任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方也称为这个数的立方（cube），正数的立方是正数，负数的立方是负数。

三、例题精讲（约 15 分钟）

例 1 计算：
(1) 3^6；　(2) 6^3；　(3) (−2)^4；　(4) (−5)^3。
解：(1) 3^6=3×3×3×3×3×3=729；
(2) 6^3=6×6×6=216；
(3) (−2)^4=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16；
(4) (−5)^3=(−5)×(−5)×(−5)=−125。
例 2 计算：
(1) (1/3)^5；　(2) (−2/7)^3；　(3) (−3/2)^4。
解：(1) (1/3)^5=1/3×1/3×1/3×1/3×1/3=1/243；
(2) (−2/7)^3=−8/343；
(3) (−3/2)^4=81/16。
例 3 “嫦娥五号”返回器携带 1 731 g 月球样品返回地球，标志着中国开启了月球研究的新篇章。科学家通过研究月球样品，证明了月球在 1 960 000 000 年前仍存在岩浆活动。试用科学记数法表示“1 731 g”和“1 960 000 000 年”。
解：1 731 g=1.731×10³ g；1 960 000 000 年=1.96×10⁹ 年。
指出：一个绝对值大于 10 的数可以写成 a×10^n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 是正整数，这种记数法称为科学记数法（scientific notation）。当 a=1 时，可简写成 10^n。

四、巩固练习（约 10 分钟）

1. 计算：(−4)^3；(−1/2)^5；(−1/3)^4；−4^3；0.1^4；1^8。
2. 填空：25＝（　）²；169＝（　）²；8＝（　）³；27＝（　）³。
3. 观察并填空：10＝10¹，100＝10×10＝10²，1 000＝10×10×10＝10³，……，1 000 000 000＝10⁹。
4. 用科学记数法表示：地球的半径大约为 6 400 km；地球与月球的平均距离大约为 384 000 km。

五、课堂小结（约 5 分钟）

1. 乘方是求相同因数的积的运算，明确底数、指数、幂的含义。
2. 幂的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。
3. 科学记数法 a×10^n（1≤|a|<10，n 为正整数）可以简明地表示绝对值大于 10 的数。

板书设计

2.6 有理数的乘方

1. 乘方：a×a×…×a＝a^n（n 个 a），a^n 中 a 是底数，n 是指数，运算结果叫幂。
2. 符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。
3. 科学记数法：a×10^n（1≤|a|<10，n 为正整数）。例：1 731=1.731×10³；1 960 000 000=1.96×10⁹。

作业布置

1. 必做：教材习题“计算”第 1 题：(−1.5)^3；−0.3^6；−(−0.2)^4；(−3/5)^4；10^7。
2. 必做：教材习题第 2 题：(1) 3³−(−3)³＋(−2)⁴−2⁴；(2) −50÷(−5)²。
3. 选做：将纸对折次数的世界纪录是 13 次。假如一张纸的厚度是 0.01 cm，用计算器计算将其对折 13 次后的厚度，并思考对折后能否超过珠穆朗玛峰的高度。